Климавичюс является воспитанником "Экранаса", цвета которого некогда защищал его отец Альбертас. Последний, кстати, является рекордсменом по числу проведенных за паневежисцев матчей. Отыграв за "Экранас" 515 встреч, Климавичюс-старший затем долгие годы работал в команде в качестве тренера. Старший брат Линаса, 25-летний игрок сборной Литвы Арунас Климавичюс, также выступал за "Экранас", а перед минувшим сезоном был приглашен в московское "Динамо".

Климавичюс-младший начал стабильно попадать в состав "Экранаса" в прошлом году, но в середине сезона отказался подписывать новый долгосрочный контракт и в качестве свободного агента перебрался в "Судуву". В составе этого клуба он стал вице-чемпионом Литвы. Всего в прошлогоднем первенстве страны он провел 26 игр, забив один гол. Помимо этого, Климавичюс был признан лучшим молодым игроком Балтийской лиги.